1. Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut :

Minimasi : Z = 6 X1 + 7,5 X2

Dengan pembatas :

7 X1 + 3 X2 ≥ 210

6 X1 + 12 X2 ≥ 180

4 X2 ≥ 120

X1 , X2 ≥ 0

Carilah harga X1 , X2

Jawab :

Langkah 1 : Konversi ke bentuk standar

Minimumkan : Z = 6 x1+ 7,5 x2

Berdasarkan

7 x1 + 3 x2 – S1 = 210

6 x1 + 12 x2 - S2 = 180

4 x2 - S3 = 120

X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0

Formulasi ini dapat juga ditulis dalam bentuk kanonik sebagai berikut :

Baris 0 z – 6 x1 - 7,5 x2 = 0

Baris 1 7 x1 + 3 x2 – S1= 210

Baris 2 6 x1 + 12 x2 - S2 = 180

Baris 3 4 x2 - S3 = 120

Langkah 2 : Menentukan solusi basis fisible

Dari bentuk kanonik diatas, jika kita tetapkan x1 = x2 = 0 maka akan kita dapatkan harga-harga S1, S2 dan S3 yaitu sama dengan ruas kanan masing-masing baris. Dengan mengikutsertakan baris 0 maka kita dapatkan :

BV : { z, S1, S2, S3 } ; NBV = { x1, x2}

BFS-nya adalah z = 0; S1 = 210; S2 = 180; S3= 120;

Langkah 3 :

Karena koefisien dari seluruh variable pada baris 0 sudah berharga negative, maka BFS sudah optimal

Table Simpleks

BV z x1 x2 S1 S2 S3 Solusi

z 1 -6 -7.5 0 0 0 0

S1 0 7 3 1 0 0 210

S2 0 6 12 0 1 0 180

S3 0 0 4 0 0 1 120

2. PT. Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah A = 200 kg dan B = 360 kg.

Untuk membuat 1 kg sabun bubuk diperlukan 2 kg A dan 6 kg B. untuk membuat 1 kg sabun batang diperlkukan 5 kg A dan 3 kg B. Bila keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1 kg sabun bubuk = $ 3 sedangkan setiap 1 kg sabun batang = $ 2, berapa kg jumlah sabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat?

Jawab :

A B Keuntungan

Sabun Bubuk 2 kg 6 kg 3

Sabun Batang 5 kg 3 kg 2

200 kg 360 kg

Langkah 1 : konversi kebentuk standar

Z = 2 x + 2 y (maksimum)

Pembatas :

2x + 5y <= 200

6x + 3y <= 360 ( dibagi 3)

x,y 0

Formulasi ini dapat juga ditulis dalam bentuk kanonik sebagai berikut :

Baris 0 z – 3x – 2y = 0

Baris 1 2x + 5y + S1 = 200

Baris 2 2x + y + S2 = 180

Langkah 2 : Menghitung Rasio

Baris 1 : 200/2 = 100

Baris 2 : 120/6 = 20 (Rasio terkecil)

Langkah 3 : lakukan ERO

ERO 1 : menjadikan koefisien x berharga 1 pada baris 2

Hasilnya : x + 0,5y + 0,5 S2 = 60

ERO 2 : menjadikan koefisien x berharga 0 pada baris 0

Hasilnya :

Z – 3X – 2Y = 0

3X + 3/2Y + 3/2 S2 =180 +

Z - 0,5Y + 1,5 S2 = 180

ERO 3 : menjadikan koefisien x berharga 0 pada baris 1

Hasilna :

2x + 5y + S1 = 200

2x + y + S2 = 120 –

4y + S1 - S2 = 80

Formulasi Kanonik yang baru

Baris 0 z – 0,5y + 1,5S2 =180

Baris 1 4y + S1 + S2 = 80

Baris 2 x + 0,5y + 0,5 S2 = 60

Dari formulasi kanonik diatas kita tahu bahwa NBV mempunyai koefisien yang bernilai negative maka BFS ini belum optimal.

Kita menjadikan y sebagai EV baru

ERO 1 : Menjadikan koefiesien y berharga 1 pada baris 1

Hasilnya : y + 0.25S1+ 0.25 S2= 20

ERO 2 : Menjadikan koefiesien y berharga 0 pada baris 0

Hasilnya :

Z – 0,5y + 1,5S2 = 180

0,5y + 1/8S1 + 1/8S2 = 10 –

Z – 1/8S1 + 13/8S2= 190

ERO 3 : Menjadikan koefiesien y berharga 0 pada baris 2

x + 0,5y + 0,5S2 = 60

0,5y + 1/8S1 + 1/8S2 = 10 -

x - 1/8S1 – 3/8S2 = 50

formulasi kanonik yang baru

Baris 0 : z + 1/8S1 + 13/8S2=190

Baris 1 : y + 1/4S1 + 1/4S2 = 20

Baris 2 : x – 1/8S1 – 3/8S2 = 50

Maka hasilnya diperoleh :

Z = 190

X = 50

Y = 20

NBV = (S1,S2)

Sabun bubuk = 50 kg

Sabun Batang = 20 kg